Razonamiento Matemático
Simbología:
^ significa elevado a una potencia.
Ejm: x^3 significa equis elevado a la tres.
* significa multiplicar
Ejm: 5*3 significa cinco multiplicado por tres.
/ significa dividir
Ejm: 5/3 significa cinco dividido entre tres.
( ) se usa para definir la operación
Ejm: (x+3)/2 significa que equis más tres está toda la expresión dividida entre dos.
Esto porque puede confundirse con:
x+3/2 que significa que tres es quien está dividido entre dos.
Un número frente a una suma o resta entre paréntesis es equivalente a una multiplicación y no es necesario poner el símbolo *
Ejm: 5(x-3)
51. Analice las siguientes igualdades y descubra la ley que se da en ellas:
2^2-1^2= 2(1) + 1
3^2-2^2= 2(2) + 1
4^2-3^2= 2(3) + 1
5^2-4^2= 2(4) + 1
Entonces, de acuerdo con la ley, es cierto que 100^2-99^2 es igual a:
A) 2(98) + 1
B) 2(99) + 1
C) 2(99)^2 + 1
D) 2(100) + 1
E) 2(100)^2 + 1
Explicación de un análisis y una posible solución:
La resta de dos números consecutivos elevados al cuadrado es igual al doble de la cifra menor de la resta más uno
En el caso de 100^2-99^2 debe ser igual a dos veces el número menor (o sea 99) + 1
La opción correcta es la B
52. Si n representa un número entero positivo, ¿cuál de las siguientes fracciones es menor que la unidad?
A) n + 1/2
B) n + 1/n
C) (n+2)/(n+1)
D) 2n/(n+1)
E) n/(n+2)
Explicación de un análisis y una posible solución:
n es un número entero positivo :
Los números enteros positivos (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. )
Se debe escoger la opción que represente un número menor que la unidad (menor que uno).
Para esto sustituimos n por un número positivo entero, por ejemplo 2.
A) n + 1/2 , sutituyendo: 2 + 1/2 = 3/2 =1,5 (mayor que uno)
B) n + 1/n sustituyendo: 2 + 1/2 = 3/2 =1,5 (mayor que uno)
C) (n+2)/(n+1) sustituyendo: (2+2)/(2+1) = 4/3 = 1,33 (mayor que uno)
D) 2n/(n+1) , sustituyendo: (2*2)/(2+1) = 4/3 = 1,33 (mayor que uno)
E) n/(n+2) , sustituyendo: 2/(2+2)= 2/4 = 1/2 = 0,5 menor que uno
La opción correcta es la E
53. Considere las siguientes igualdades, donde p, q y r son enteros positivos:
- p + q = 100
- p + r = 30
¿Cuál de las siguientes relaciones sucede con certeza?
A) p = q
B) q = r
C) r > p
D) r = p
E) p < q
Explicación de un análisis y una posible solución:
p, q , r son enteros positivos
Podemos sustituir letras por números y comprobar cuál es la relación correcta.
p + q = 100 y p + r = 30
p puede ser 10 q puede ser 90 y r puede ser 20
¿Porqué estos valores?
No podemos darle a p un valor mayor que 30 porque p+r = 30
p debe funcionar para ambas igualdades.
p = 10 q = 90 r = 20
10 es menor que 90 ( p < q )
p < q es la proposición correcta
La opción correcta es la E
54. Cierto año, Rebeca tenía 20 años y sus dos hermanos 6 y 7 años.
¿ Cuál es el menor número de años que debe transcurrir a partir de ese año, para que la edad de Rebeca llegue a ser menor que la suma de las edades que tendrán sus dos hermanos?
A) 28
B) 16
C) 9
D) 8
E) 7
Explicación de un análisis y una posible solución:
Rebeca tiene 20 años y dos hermanos.
Un hermano tiene 6 años y otro 7 años.
Debemos averiguar la menor cantidad de años que deben pasar para que la suma de las edades de los hermanos sea mayor que la edad de Rebeca.
- Si pasan 7 años, Rebeca tendría 27 años
El hermano menor tendría 6+7 años (13 años)
El otro 7+7 años (14 años)
La suma de las dos edades luego de 7 años es 14+13=27
Pero Rebeca tendría 27 años.
- Si pasan 8 años, Rebeca tendría 28 años
El hermano menor 6+8 años (14 años)
El otro 7+8 años (15 años)
La suma de las edades luego de 8 años es 14+15=29
29 es mayor que 28.
Por lo tanto deben transcurrir 8 años para que la suma de las edades de los hermanos sea mayor que la edad de Rebeca
La opción correcta es la D
55. La estrella que se muestra en la figura está formada por un hexágono y 6 triángulos equiláteros congruentes.
Si el perímetro de la estrella es de 36 unidades, ¿ de cuántas unidades será el perímetro del hexágono?
A) 36
B) 18
C) 12
D) 6
E) 3
Explicación de un análisis y una posible solución:
El perímetro es la suma de las medidas de los lados.
El perimetro de la figura ( estrella ) es igual a 36 unidades
Al dividirlo entre el total de lados de la estrella (12 lados) se obtiene el valor de cada lado ( 3 unidades )
La figura es un hexágono rodeado de 6 triángulos equiláteros
Un lado de cada triángulo es lado del hexágono.
El hexágono tiene 6 lados, cada lado mide 3 unidades
El perímetro es 6*3 = 18 unidades
La respuesta correcta es la B
56. En la Avenida I hay cinco casas (1,2,3,4,5) que están en línea recta. Cuatro encuestadores (P,Q,R,T) deben visitar, cada uno, solo una de las cinco casas.
Analice la siguiente información:
- Los encuestadores P y Q estuvieron separados por una casa.
- Los encuestadores R y T estuvieron separados por dos casas.
- La misma casa no pudo haber sido visitada simultáneamente por dos encuestadores.
De acuerdo con la información dada, ¿cuáles casas no pudieron ser visitadas?
A) La 1 y la 3.
B) La 2 y la 4.
C) La 2 y la 5.
D) La 3 y la 4.
E) La 3 y la 5.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Según el texto :
- Hay cuatro encuestadores ( P , Q , R , T )
- Hay cinco casas. ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )
- Por lo tanto una casa queda sin visitar
R y T están separados por dos casas
P y Q están separados por una casa
Ver figura
La opción correcta es la B
57. En una relojería hay tres relojes: P, Q y R. P adelanta una hora cada día, Q atrasa una hora cada día y R está parado y marca las 6 horas.
Si se considera que el mejor reloj es el que indica un mayor número de veces la hora correcta, es cierto que
A) P es el mejor reloj.
B) Q es el mejor reloj.
C) R es el mejor reloj.
D) P es mejor reloj que Q.
E) P y Q son igualmente mejores relojes que R.
Explicación de un análisis y una posible solución:
P adelanta una hora cada día
Durante todo el día va a indicar una hora incorrecta, además al siguiente va a adelantarse 2 horas y así continuamente
Q atrasa una hora cada día
Durante todo el día va a indicar una hora incorrecta, además al siguiente va a atrasarse 2 horas y así continuamente
R marca las 6 horas
Al estar detenido marca correctamente la hora una vez al día, todos los días.
La opción correcta es la C
58. En una caja se colocan siete tiras de papel. En cada una de ellas se ha escrito del 0 al 6 un número entero distinto. Se sacan 2 tiras al azar.
¿Cuál es el mayor número de parejas de tiras que pueden sacarse tales que la suma de los números que las identifican sea 6?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
Explicación de un análisis y una posible solución:
Hay siete tiras con un número sin repetir del 0 al 6 en cada una.
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
Se deben sacar dos tiras: De forma que la suma de los números sea 6:
0 6 1 5 2 4
La mayor cantidad de parejas es 3
La opción correcta es la C
59. En una fábrica, por cada artículo que termine un obrero le entregan 2 bonos. Por cada 3 bonos le dan un almuerzo gratis. César tuvo derecho a 18 almuerzos gratis en el año y no le sobraron bonos.
¿ Cuál es el número de artículos que César entregó ese año?
A) 3
B) 12
C) 27
D) 54
E) 108
Explicación de un análisis y una posible solución:
Si César produce :
1 artículo ( le entregan ) 2 bonos
Si tiene 3 bonos ( le regalan ) 1 almuerzo
Necesitamos saber el número de artículos:
Le regalaron 18 almuerzos
Por cada almuerzo son 3 bonos, entonces 18 almuerzos:
18*3 = 54 bonos
2 bonos ---> 1 artículo
54/2= 27 artículos
La opción correcta es la C
60. De una caja en la que hay monedas con denominaciones de 5, 10 y 20 gapes, dos amigos tomaron dos monedas cada uno. Si se sabe que:
Ninguno de ellos tomó dos monedas de la misma denominación.
Cada uno de ellos tomó una moneda de igual denominación.
Uno de ellos tomó 5 gapes menos que el otro.
Entonces, la moneda de igual denominación que ambos tienen
A) es de 5 gapes.
B) es de 10 gapes.
C) es de 20 gapes.
D) no se puede determinar.
E) podría ser de 5 gapes o de 10 gapes.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Las monedas en la caja son de 5 , 10 y 20 gapes
Cada amigo toma dos monedas:
- Un amigo obtuvo 5 gapes menos que el otro.
- Cada uno tomó una moneda de igual denominación
- Ninguno tomó dos monedas de igual denominación.
Entre las posibilidades está que uno tenga 25 gapes
O sea una moneda de 20 y otra de 5 gapes.
Y el otro una moneda de 20 y otra de 10 gapes.
Uno tendría 25 gapes y el otro 30 gapes.
Ambos tendrían en común la moneda de 20 gapes.
La opción correcta es la C
61. La figura se compone de 8 cuadrados de lado 1.
El perímetro de la figura mide, entonces, 12 unidades.
Si a la figura original se le eliminan los cuadrados
A) P y T , el perímetro aumenta en 1 unidad.
B) Q y R , el perímetro aumenta en 5 unidades.
C) R y T, el perímetro aumenta en 3 unidades.
D) Q y T, el perímetro aumenta en 4 unidades.
E) P y R, el perímetro aumenta en 2 unidades.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Al eliminar algunos cuadrados, se modifica la medida del perímetro:
En la figura debajo de la imagen, se ilustran cada una de las opciones.
La opción correcta es la D
62. Considere las siguientes proposiciones:
I. María tiene tres veces la edad de su hijo Juan.
II. Juan es 4 años mayor que su hermano Raúl.
III. La suma de las edades de Juan y de María es 48.
IV. Raúl tiene 8 años.
¿ Cuáles de las proposiciones anteriores son suficientes para poder determinar las edades de Juan y María?
A) I y II.
B) I y III.
C) I y IV.
D) II y III.
E) II y IV.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Debemos escoger dos proposiciones suficientes para determinar las edades de Juan y María.
Estas proposiciones deben incluir informacion sobre Juan y María
María tiene tres veces ( 3x ) la edad de su hijo Juan ( x )
La suma de las edades de Juan y de María es 48
x + 3x = 48
4x = 48 x = 48/4 x= 12
Juan tiene 12 años
María tiene el triple, 36 años
Las opciones necesarias para determinar las edades son I y III.
La opción correcta es la B
63. Considere las siguientes afirmaciones:
I. Si Marielos es contemporánea de Priscila y Priscila es contemporánea de Luisa, entonces, Marielos es contemporánea de Luisa.
II. Si Marielos es profesora de Priscila y Priscila es profesora de Luisa, entonces Marielos es profesora de Luisa.
III. Si Marielos es cuñada de Priscila y Priscila es cuñada de Luisa, entonces Marielos es cuñada de Luisa.
De las afirmaciones anteriores, es(son) siempre verdadera(s)
A) todas.
B) ninguna.
C) solo la I.
D) solo la II.
E) solo la III.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Contemporáneo significa que viven en la misma época.
Marielos es contemporánea de Priscila
Priscila es contemporánea de Luisa.
Las tres viven en la misma época.
Marielos es profesora de Priscila
Priscila es profesora de Luisa
Con esta información Marielos no es profesora de Luisa.
Marielos es cuñada de Priscila
Priscila es cuñada de Luisa
Con esta información Marielos no es cuñada de Luisa
La opción correcta es la C
64. Una gran compañía aérea tiene tres tipos de aviones: P, Q y R. Considere las siguientes afirmaciones:
I. P es más veloz que Q
II. P es más veloz que R.
III. Q es más veloz que R.
De acuerdo con la información dada, se concluye que
A) I y III implican II.
B) II y III implican I.
C) I y II excluyen III.
D) I y III excluyen II.
E) II y III excluyen I.
Explicación de un análisis y una posible solución:
- P es más veloz que Q o sea P > Q
- P es más veloz que R o sea P > R
- Q es más veloz que R o sea Q > R
De las tres afirmaciones se deduce: P > Q > R
De la primera ( P > Q ) y la tercera ( Q > R ) se deduce la II
La opción correcta es la A
65. Sean R, S y Q tres enteros positivos tales que:
- R > S
- Q > S
Entonces sucede, con certeza, que
A) R > Q
B) Q > 2S
C) R + S > 2S
D) R + S > 2R
E) 2R > Q + S
Explicación de un análisis y una posible solución:
Un consejo para las proposiciones matemáticas que deben comprobarse es sustituir las letras por números.
Por ejemplo:
- R > S , R puede ser tres y S dos.
- Q > S , Q puede ser tres y S dos.
Entonces sustituimos los valores para saber la respuesta correcta:
- R > Q quedaría 3 > 3 lo cual es falso.
- Q > 2S quedaría 3 > 4 lo cual es falso
- R + S > 2S quedaría 5 > 4 lo cual es verdadero.
La opción correcta es la C
66. Un número entero es tal que su cuadrado es un número de dos cifras, cuyas decenas corresponden a un número impar.
¿ Cuál es la cifra de las unidades de ese cuadrado?
A) 1
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
Explicación de un análisis y una posible solución:
¿Cuáles son las decenas y cuáles son las unidades?
Tomamos como ejemplo el número 13
La cifra de las decenas es ( 1 )
La cifra de las unidades es ( 3 )
El cuadrado de ese número entero debe tener dos cifras:
2^2=4 (tiene una cifra) No sirve
3^2=9 (tiene una cifra) No sirve
4^2=16 (sí tiene dos cifras)
Además el número de las decenas es 1 (número impar)
5^2= 25 (sí tiene dos cifras)
Pero el número de las decenas es 2 (número par)
6^2= 36 (sí tiene dos cifras)
Además el número de las decenas es 3 (número impar)
Tanto 36 como 16 tienen en común la cifra el número 6 en las unidades
La opción correcta es la D
67. Iveth y Marta tienen igual número de monedas de 20 gapes. Ambas deciden agruparlas en bolsitas, de la siguiente forma:
Iveth puso 7 monedas en cada bolsita.
Marta puso 5 monedas en cada bolsita.
Si al final Marta tiene 4 bolsitas más que Iveth,
¿ De cuánto dinero disponía cada una?
A) 2800 gapes.
B) 1400 gapes.
C) 700 gapes.
D) 280 gapes.
E) 200 gapes.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Ambas tienen solo monedas de 20 gapes
Iveth puso 7 monedas en cada bolsita
Marta puso 5 monedas en cada bolsita
Iveth tiene 140 gapes por bolsita
Marta tiene 100 gapes por bolsita
Sea x el número de bolsitas de Iveth
Marta e Iveth tienen la misma cantidad de dinero
Marta tiene 4 bolsitas más que Iveth:
100x + 4 = 140x
4 = 40x
10 = x
Iveth tiene 10 bolsitas
140*10 = 1400
Marta tiene 100x + 4
El 4 significa, 4 bolsas más.
100*10 + 4 bolsitas = 1000 + 4*100 = 1400
Cada una disponía de 1400 gapes
La opción correcta es la B
68. ¿ Cuántos números distintos de dos cifras existen tales que al menos una de sus dos cifras sea 5?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
Explicación de un análisis y una posible solución:
Hay dos condiciones:
* Que el número sea de dos cifras
* Que al menos una de sus cifras sea 5
Teniendo en cuenta estas condiciones empezamos a escoger partir del primer número de dos cifras (10)
15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95.
Hay 18 números. La opción correcta es la B
69. Los 8 colegios de un cantón se han enumerado del 1 al 8 y se han organizado para que la celebración del 15 de setiembre corresponda cada año a un colegio diferente, según el orden de esa enumeración. Cada año el día de la semana en que cae esta fecha es diferente: se corre un día, exceptuando los bisiestos ( que se dan cada cuatro años), pues en estos, esa fecha cae dos días después del día que cayó en el año anterior.
Si este año, que es bisiesto, al octavo colegio le correspondió organizar las actividades para un lunes, ¿qué día de la semana le tocó celebrar esta fecha al primer colegio?
A) Domingo.
B) Lunes.
C) Miércoles.
D) Viernes.
E) Sábado.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Ver figura:
Debemos tener en cuenta
- Los bisiestos ocurren cada cuatro años
- En los años bisiestos la fecha cae dos días después del día que cayó el año anterior
- En los otros años la fecha cae un día después
Se empieza a contar desde el octavo colegio, que cae bisiesto, el día lunes
Hay otro bisiesto 4 años antes ( en el cuarto colegio )
Al octavo colegio le toca un lunes bisiesto
Al sétimo le toca un sábado: la fecha del octavo colegio cae dos días después ( Lunes ) del día que cayó el año anterior ( Sábado )
Luego siguen años no bisiestos, hasta el 4to colegio que cae en año bisiesto.
Al cuarto colegio le toca un miércoles, entonces al tercero le había tocado un lunes.
Así sucesivamente hasta el primer colegio: sábado
La opción correcta es la E
70. Dos niños salen simultáneamente de un mismo punto, corren hasta una pared que está a 7 m y regresan al punto inicial. El niño mayor mantiene el doble de velocidad que el menor.
En el momento en que el mayor, luego de tocar la pared, se encuentra (cruza) con el menor, este último ha recorrido una distancia comprendida entre
A) 2 m y 3 m.
B) 3 m y 4 m.
C) 4 m y 5 m.
D) 5 m y 6 m.
E) 6 m y 7 m.
Explicación de un análisis y una posible solución:
El niño mayor mantiene el doble de velocidad que el niño menor.
Por lo tanto el niño mayor recorre el doble de distancia que el menor
Hay que averiguar la distancia cuando ambos se cruzan
El mayor se devuelve al punto inicial y el menor va hacia la pared.
Cuando el menor recorre x metros, el mayor recorre 2x metros
- Si el menor está a 2 metros el mayor recorre 4 metros.
- Si el menor está a 3 metros el mayor recorre 6 metros.
- Si el menor está a 4 metros el mayor recorre 8 metros.
- Si el menor está a 5 metros el mayor recorre 10 metros.
Cuando el menor recorre 5 metros --> el mayor ya tocó la pared y está en el número 4.
Cuando el menor está cerca del número 5 digamos 4,9 el mayor ha recorrido 9,8 metros
Estaría 2,2 metros luegos de la pared o sea en el númeto 4,8
Entre 4 y 5 metros el menor y el mayor se topan.
La opción correcta es la C
71. En el cuadrado mágico que se presenta, los productos de las verticales, las horizontales y las diagonales son iguales.
Entonces, P
A) necesariamente es 0.
B) necesariamente es 1.
C) necesariamente es -1.
D) puede tomar los valores 1 ó -1.
E) puede tomar los valores 0 ó -1.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Si multiplicamos de forma vertical u horizontal obtenemos como resultado cero
Cualquier valor multiplicado por cero tiene como resultado cero.
P*2*0*P=0 y P*0*2*P=0
La multiplicación en dirección diagonal debe dar cero
P debe ser necesariamente O.
La opción correcta es la A
72. Un sastre pretendía cortar de un pedazo de tela, un mantel de cierta área y de forma cuadrada, pero no fue posible obtenerlo así. Por esto, decidió cortarlo en forma rectangular, de tal manera que tuviera por ancho el lado del cuadrado disminuido en 2 y por largo el lado del cuadrado aumentado en 2.
Entonces, el área del mantel rectangular resultó con respecto a la del cuadrangular
A) igual.
B) 2 unidades menor.
C) 4 unidades menor.
D) 2 unidades mayor.
E) 4 unidades mayor.
Explicación de un análisis y una posible solución:
El sastre pretendía cortar de la tela un cuadrado, al final lo hizo en forma rectangular.
Las medidas del rectángulo están relacionadas con el cuadrado.
Si el cuadrado tiene como lado x
El ancho del rectángulo es x - 2
El largo del rectángulo es x + 2
El área del rectángulo es largo*ancho
El área del cuadrado es lado*lado
Área del rectángulo = ( x - 2 )*( x + 2 ) = x^2 - 4
Área del cuadrado = x^2
El área del rectángulo es 4 unidades menor que el área del cuadrado
La opción correcta es la C
73. El cuadrado de cualquier número entero positivo n, es igual a la suma de los números impares menores que su duplo.
Lo anterior se puede expresar como
A) n^2 = 1+ 3 + 5 + ... + 2n.
B) n^2 = 1 + 3 + 5 + ... + (n - 1).
C) n^2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).
D) n^2 = 1 + 3 + 5 + ... + 2(n - 1).
E) n^2 = 1 + 3 + 5 + ... + 2(n + 1).
Explicación de un análisis y una posible solución:
n es un número entero positivo.
n^2 es igual a la suma de los números impares menores que su duplo.
El duplo significa doble, el doble de n es 2n y el número impar menor que su duplo sería 2n-1
La opción correcta es la C
74. Mirta, Óscar y Gloria son estudiantes universitarios. Gloria ganó 50 créditos más que Óscar. Óscar ganó el triple de créditos que Mirta.
Si entre los tres han ganado más de 78 créditos pero menos de 99, entonces es posible que
A) Mirta haya ganado 7 créditos.
B) Óscar haya ganado 12 créditos.
C) Óscar haya ganado 15 créditos.
D) Gloria haya ganado 59 créditos.
E) Óscar y Mirta juntos hayan ganado 44 créditos más que Gloria.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Gloria está relacionada con Óscar
Óscar está relacionado con Mirta
Mirta puede tener x créditos.
Óscar tiene el triple de Mirta: 3x
Gloria tiene 50 créditos más que Óscar: 3x + 50
En el texto dice que entre los tres han gando más de 78 créditos:
O sea: ( x ) + ( 3x ) + ( 3x + 50 ) > 78
7x > 28
x > 4
También dice en el texto, entre los tres tienen menos de 99 créditos:
O sea : ( x ) + ( 3x ) + ( 3x + 50 ) < 99
7x < 49
x < 7
Mirta tiene más de 4 créditos pero menos de 7
Óscar tiene más de 12 créditos pero menos de 21
Gloria tiene más de 62 créditos pero menos de 71
La opción correcta es la C
75. Los números del sorteo llamado “tiempos” van desde 00 hasta 99. Ricardo compra un “pedacito” de cada número en el que la suma de la cifra de las decenas más la cifra de las unidades es 5.Javier compra un “pedacito” de cada número cuando esa suma es 10.
Emilia compra un “pedacito” de cada número cuando esa suma es 15.
Entonces,
A) el que compró más "pedacitos" fue Javier.
B) la que compró más "pedacitos" fue Emilia.
C) el que compró más "pedacitos" fue Ricardo.
D) todos compraron igual cantidad de "pedacitos".
E) Ricardo y Javier juntos compraron tantos "pedacitos" como Emilia.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Los números van del 00 hasta el 99
Necesitamos tener claro cuáles son las decenas y cúales las unidades.
Por ejemplo
83, el 3 son las unidades y el 8 las decenas.
En el 07 el 7 las unidades y el 0 las decenas.
Ahora debemos averiguar la cantidad de " pedacitos " que compró cada persona:
Ricardo (compra números, tales que la suma de la cifra de las unidades más las decenas es 5 )
De menor a mayor elegimos según esta condición:
05 , 14 , 23 , 32 , 41 , 50 ( Tiene 6 "pedacitos" )
Javier ( compra números, tales que la suma de la cifra de las unidades más las decenas es 10 )
De menor a mayor elegimos según esta condición:
19 , 28 , 37 , 46 , 55 , 64 , 73 , 82 , 91 ( Tiene 9 "pedacitos" )
Emilia ( compra números, tales que la suma de la cifra de las unidades más las decenas es 15 )
De menor a mayor elegimos según esta condición:
69 , 78 , 87 , 96 ( Tiene 4 "pedacitos" )
Javier es quién tiene más "pedacitos"
La opción correcta es la A
76. Días antes de un examen, el jefe de Carlos lo autorizó para tomar la mañana o la tarde de cada día para prepararse, siempre que el trabajo se lo permitiera. Carlos solo pudo estudiar durante dos de esos días porque tuvo que trabajar en total una mañana y tres tardes.
Entonces, ¿cuántos días faltaban para el examen cuando el jefe autorizó a Carlos a estudiar en el trabajo?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
Explicación de un análisis y una posible solución:
Nos piden averiguar los días que faltaban para el examen
Pudo estudiar dos de esos días
Tuvo que trabajar una mañana y tres tardes.
¿Cuánto es una mañana y tres tardes?
Una mañana + una tarde = 1 día de trabajo
Una tarde permite que Carlos estudie en la mañana
Otra tarde permite que Carlos estudie en la mañana.
O sea estudió dos de los días y un día trabajó sin estudiar
Por lo tanto faltaban 3 días.
La opción correcta es la B
77. Considere para dos números (a y b), las siguientes afirmaciones:
I. a^2 es par.
II. (a+b) es par.
III. (ab) es par.
Entonces, es correcto que de
A) I se concluya II.
B) I y II se concluya III.
C) I y III se concluya II.
D) II se concluya I y III.
E) III se concluya I y II.
Explicación de un análisis y una posible solución:
A) Si a^2 es par entonces ( a + b ) es par
Prueba: a = 2 y b = 3
2^2 = 4 ( 2 + 3 ) = 5
La opción A) es incorrecta
B) Si a^2 es par y ( a + b ) es par entonces (ab) es par
Prueba: a = 2 y b = 4 ( esto para que a + b sea par )
2^2 = 4 ( 2 + 4 ) = 6 entonces (2*4)= 8
La opción B) es correcta
C) Si a^2 es par y (ab) es par entonces ( a + b ) es par
Prueba: a = 2 y b = 3 ( esto para que a*b sea par )
2^2= 4 ( 2*3) = 6 entonces ( 2 + 3 ) = 5
La opción C) es incorrecta
D) Si ( a + b ) es par entonces a^2 es par y (ab) es par
Prueba: a = 3 y b = 1 entonces 3^2 = 9 y (3*1) = 3
La opción D) es incorrecta
E) Si (ab) es par entonces a^2 es par y ( a + b ) es par
Prueba: a= 2 y b = 3 entonces 2^2 = 4 y ( 2 + 3 ) = 5
La opción E es incorrecta
La opción correcta es la B
78. Fernando compró 100 artículos a x gapes cada uno y luego los vendió a 100 gapes más cada uno.
¿Cuánto dinero recibió por la venta?
A) 10 000
B) 100x + x
C) x + 10 000
D) 100x + 100
E) 100x + 10 000
Explicación de un análisis y una posible solución:
Fernando compró 100 artículos.
Un artículo cuesta x gapes
Para comprarlos tuvo que gastar: 100x gapes
Dice que vendió cada uno a 100 gapes más del precio original:
O sea cada artículos lo vendió a: x + 100 gapes
Vendió los 100 artículos, o sea recibe por toda la venta:
100 ( x + 100 ) = 100x + 10000
La opción correcta es la E
79. Analice la siguiente operación:
En el producto anterior, cuatro dígitos están tan borrosos que no es posible leerlos, pero sí es posible calcular el resultado final.
Dicho resultado debe ser
A) 212.
B) 214.
C) 310.
D) 312.
E) 314.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Es posible calcular el resultado final porque tenemos el resultado de multiplicar 1 por el número que falta y por el número 2.
Este resultado es 24 el número que multiplicado por 1 resulta 4 es: 4
Ahora sabemos que la multiplicación es 24*13
Procedemos a completar los cuadros:
3*4 = 12
3*2 = 6 (y se suma el 1 que se subió del 12) o sea da 7
Luego:
7 2
+ 2 4
3 1 2
La opción correcta es la D
80. Una niña da un paseo en su bicicleta. El radio de la rueda trasera es el doble que el de la rueda delantera.
Considere las siguientes afirmaciones:
I. La rueda trasera da menos vueltas que la rueda delantera.
II. La rueda trasera recorre la misma distancia que la rueda delantera.
III. La rueda delantera recorre el doble de distancia que la rueda trasera.
De las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)
A) I.
B) II.
C) III.
D) I y la II.
E) I y la III.
Explicación de un análisis y una posible solución:
La rueda trasera tiene el doble del radio que la rueda delantera.
¿Qué tiene que ver el radio con la distancia o las vueltas?
El radio determina la medida de la circunferencia.
La rueda trasera da menos vueltas que la rueda delantera,
La trasera es más grande y dura más tiempo en dar una vuelta.
Para saber la relación entre la distancia que recorre cada rueda usamos la fórmula 2πr
El radio de la pequeña mide r y el de la grande 2r, o sea
Circunferencia de la grande Circunferencia rueda pequeña
2π(2r)= 4πr 2πr
La circunferencia de la grande es el doble de la pequeña.
Por lo tanto para una vuelta (una circunferencia completa) recorre el doble de la distancia.
La opción correcta es la E
81. Una comerciante compró latas de frutas para vender 10 cada día. Sucedió que el primer día logró vender las 10 latas, sin embargo, en los restantes vendió cada día una menos que el día anterior, razón por la cual, en el tiempo previsto para la venta todavía le quedaban 6 latas.
¿ Cuántos días le tomó vender todas las latas de frutas?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 9
E) 10
Explicación de un análisis y una posible solución:
La intención del comerciante es:
Vender 10 latas cada día.
El primer día vendió 10 latas.
En los días restantes vendió cada día una menos que el día anterior:
Si el primer día vendió 10, el segundo día vendió 9, el tercer día vendió 8 . . . . y así sucesivamente.
El texto dice que los días previstos para la venta todavía le quedaban 6 latas.
¿Porqué le quedaban latas?
No en todos los días vendió las 10 latas.
Le quedaran 6 latas sin vender:
Primer día: 10 latas ( no le faltaron latas )
Segundo día: 9 latas ( le faltó una lata ) 1
Tercer día: 8 latas ( le faltaron dos latas ) 2
Cuarto día: 7 latas ( le faltaron tres latas ) + 3
= 6
Las latas que no logró vender hasta el cuarto día suman 6 latas.
Si el cuarto día vendió 7 latas, el quinto día puede vender 6 latas.
Por lo tanto le tomó 5 días.
La opción correcta es la B
82. Una persona puede pertenecer a uno de los siguientes grupos sanguíneos:
- Grupo A, caracterizado por la presencia de la sustancia A únicamente.
- Grupo B, caracterizado por la presencia de la sustancia B únicamente.
- Grupo AB, caracterizado por la presencia de las sustancias A Y B
- Grupo O, caracterizado por la ausencia de las sustancias A y B
En 6000 costarricenses que fueron examinados para estudiar grupos sanguíneos, se obtuvo el siguiente resultado: 2500 tienen sustancia A, 2200 presentan sustancia B y 800 no tienen sustancia A ni B.
¿Cuántos individuos son del grupo AB?
A) 0
B) 300
C) 500
D) 4700
E) 6500
Explicación de un análisis y una posible solución:
Una persona puede pertener a uno de los 4 tipos de grupos sanguíneos
A solo sustancia A
B, solo sustancia B
AB sustancia A y B
O no tienen sustancia A ni B
Hay 2500 personas del Grupo A,
Hay 2200 personas del Grupo B,
Hay 800 personas del Grupo O.
O sea 5500 personas.
Pero en total son 6000 personas en total,
Entonces de esas 6000, 500 personas deben ser Grupo AB.
La opción correcta es la C
83. Para una fiesta hay tazas verdes, tazas amarillas y tazas blancas. Las blancas son tantas como las verdes y las amarillas juntas. Si en la fiesta solo fue necesario usar las dos terceras partes del total de las tazas, entonces, con certeza, se usaron
A) tazas verdes.
B) tazas blancas.
C) tazas amarillas.
D) todas las tazas verdes.
E) todas las tazas blancas.
Explicación de un análisis y una posible solución:
La cantidad de tazas blancas es la suma de las tazas amarillas y las tazas verdes
Blancas = Verdes + Amarillos
Podemos asignarles valores respetando esta relación
Verdes= 3 Amarillas = 3 Blancas = 6
Se usan dos tercios del total de tazas
En total son 12 tazas, o sea se usan dos tercios de 12 :
12*(2/3)= 24/3 = 8 tazas
Apoyándonos en esto, vamos descartando las opciones:
Se podrían usar 5 tazas blancas y 3 amarillas.
Por lo que la opción A queda descartada
Se podrían usar 5 tazas blancas y 3 verdes o 5 tazas blancas y 3 amarillas.
Si solo se usan verdes y amarillas, solo se llega a 6 tazas.
La opción que ocurre con certeza es la B
- La opción E no porque existe la posibilidad de no usar todas las blancas y completar las 8 tazas.
84. Dos niñas, Ana y Beatriz, tienen igual cantidad de metros de cinta para hacer lazos. Acuerdan que en cada lazo ambas ocuparán x metros de cinta. Ana corta cinta para el primer lazo y le sobran 2 metros; Beatriz corta cinta para dos lazos y aún le sobra cinta, pero no la suficiente como para hacer un tercer lazo.
Entonces, con certeza, en cada lazo ocupan
A) un metro.
B) dos metros.
C) más de dos metros.
D) más de un metro pero menos de dos metros.
E) más de medio metro pero menos de un metro.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Ana y Beatriz tienen igual cantidad de metros de cinta:
Si cada una tiene ( y ) metros de cinta
Ambas tendrían ( 2y ) metros de cinta
Cada lazo ocupa x metros de cinta
Ana corta cinta para el primer lazo, le sobran 2 metros:
Ana corta de su cantidad de cinta ( y ) para hacer el primer lazo ( x ) y le sobran ( 2 metros )
y - x = 2
Beatriz corta de su cinta ( y ) para dos lazos ( 2x ) , le sobra cinta pero no la suficiente para hacer un tercer lazo
Beatriz puede formar 2 lazos pero no le alcanza para 3 lazos.
O sea la cantidad de cinta de Beatriz ( y ) es menor que 3 lazos ( 3x )
y < 3x además se tiene y - x = 2 o sea y = 2 + x
también x = y - 2
Con esto podemos averiguar posibles valores para ( y ) , también para ( x ) si sustituimos:
y < 3x y < 3*( y -2 )
2 + x < 3x y < 3y - 6
2 < 2x 6 < 2y
1 < x 3 < y
Cada lazo tiene más de un metro de cinta
Cada niña tiene más de 3 metros de cinta
Con esto las opciones que funcionan son la B) y la D)
Necesitamos descartar una de estas:
Si cada lazo necesitara 2 metros la situación sería así:
El valor de x sería 2
Ana corta cinta para el primer lazo y le sobran dos metros:
y - x = 2
y - 2 = 2 y = 4
Ana tendría 4 metros, por lo que Beatriz tendría también 4 metros
Beatriz corta para dos lazos y aún le sobra cinta, pero no para hacer un tercer lazo.
Beatriz tiene 4 metros, corta para dos lazos o sea 2*2 y le debería sobrar cinta., pero no le sobra si usa 2 metros por cada lazo
Por lo que debe de usar más de un metro pero menos de dos metros.
La opción correcta es la D
85. Un cuadrilátero P tiene 32 cm de perímetro y 48 cm^2 de área. Un cuadrado Q posee un perímetro igual a la cuarta parte del perímetro del cuadrilátero P.
La diferencia entre las áreas del cuadrilátero P y el cuadrado Q es
A) 12 cm^2.
B) 23 cm^2.
C) 28 cm^2.
D) 39 cm^2.
E) 44 cm^2.
Explicación de un análisis y una posible solución:
Se debe averiguar la diferencia ( resta ) entre las áreas,
Para esto se necesita saber cuánto mide el área del cuadrado Q.
El perímetro del cuadrado Q es la cuarta parte del perímetro del cuadrilatero P ( 32/4 )
El perímetro del cuadrado Q es 8 cm
La medida de un lado se obtiene dividiendo el perímetro entre 4.
8/4=2 cada lado de Q mide 2 cm.
El área de un cuadrado es lado^2
El área del cuadrado Q es 2^2= 4 cm^2
Recuerden que toda área se expresa en cm^2, m^2 siempre con unidades de medida al cuadrado.
Entonces la diferencia o resta entre las áreas del cuadrilátero P y el cuadrado Q es:
Área de P - Área de Q = 48 - 4 = 44 cm^2
La opción correcta es la E
Ahora entraremos en problemas sobre edades típicos tomados en exámenes de admisión
1. ¿Qué relación tiene conmigo la abuelita materna de la hija de mi prima, si mi prima es hija de la hermana de mi madre?
1) Abuela
2) Tía
3) Madre
4) Prima
5) Ninguna
Explicación:
La respuesta correcta es la 2
2. En una reunión del Comité Internacional de la Olimpiadas de Matemática participan 5 personas (Ana, Belén, Carmen, Diana y Elena) y puede observarse que:
• Belén y Carmen conversan inglés, pero cuando se les acerca Diana deben hacerlo en español.
• El único idioma común entre Ana, Belén y Elena es el francés.
• El único idioma en común entre Carmen y Elena es el italiano
• Tres personas hablan portugués
• El idioma más hablado es el español
Una de las personas habla 5 idiomas, otra 4, otra 3, otra 2 y otra 1¿Quién habla los 5 idiomas?
1) Ana
2) Belén
3) Carmen
4) Diana
5) Elena
Hasta el momento Belén y Carmen hablan más idiomas.
Luego Belén tiene el francés en común con Ana y Elena.
Como esta relación es de tres personas es posible que Ana hable solo francés. Pero no quiere decir que Belén no tenga otro idioma en común con Elena.
Se dice que el único idioma común entre Ana, Belén y Elena es el francés porque esto requiere el común entre las tres.
El portugués se le puede asignar a tres personas a conveniencia.
Belén tiene más idiomas porque Carmen no habla francés.
Se le puede asignar el portugués a Belén, Carmen y Ana.
Así quedaría Belén con cinco, Carmen con cuatro, Ana con tres (podemos asignarle también el español), Elena con dos y Diana con uno.
La opción correcta es la 2
3. El término que completa la sucesión:
1n^2+1, 3n^4+2, 5n^6+3,_______ es:
1) 7n^8+3
2) 6n^8+3
3) 7n^8+4
4)6n^8+4
5) 7n^8+5
Explicación: los coeficientes de cada término son números impares consecutivos ( 1,3,5 ) por lo que el siguiente es 7.
Las potencias son números pares consecutivos (^2,^4,^6) el siguiente sería 8. El segúndo término de cada suma son números consecutivos desde el 1 (1,2,3) el próximo es 4.
La opción correcta es la 3
4. Cada uno de los símbolos representan un dígito.
De acuerdo con las sucesiones siguientes
¿, *, ?
+, 4, *, 8
Identifique los dígitos que representan el conjunto de
símbolos ¿, *, ?
1) 2,6,9
2) 3,6,8
3) 2,3,9
4) 4,7,8
5) 3,6,9
Nota: Se hizo una modificación a las figuras de la práctica
¿ es igual al triángulo invertido
? es igual al triángulo
+ es igual al cuadrado
Explicación
En una sucesión se busca que un número o figura tenga una relación con los otros números u objetos.
Debemos encontrar los valores de esos tres símbolos que funcionen para la primera y segunda sucesión.
Tenemos dos valores 4 y 8.
Como son dos sucesiones, cada una podría tener su propia relación.
8 es el doble que 4 y el número par entre ellos es 6.
Si en la segunda sucesión ( +, 4, *, 8) la relación es números pares quedaría 2,4,6,8
O sea el valor de * es 6. En la primera sucesión ( ¿, *, ?) podrían estar 3,6,9
La opción correcta es la 5.
5. Una empresa de cine preguntó a 600 personas qué tipo de película les gusta más. Las respuestas fueron las siguientes:
• 220 personas prefieren losdramas
• 200 personas prefieren las películas de acción
• 100 personas indicaron que gustan tanto de los dramas como de las películas de acción
• 120 indicaron que gustan tanto de las películas
• 150 indicaron tanto de las películas de fantasía como de los dramas
• 40 indicaron que gustan los tres tipos de película
Con certeza se puede garantizar que:
1) la cantidad de personas que prefiere solo películas de fantasía es mayor que quienes escogieron solo las de acción.
2) la cantidad de personas que escogió solo películas de acción es menor que quienes escogieron solo los dramas.
3) la cantidad de personas que prefiere sólo películas de acción y dramas es mayor que quienes eligen solo películas de fantasía y dramas.
4) la cantidad de personas que prefiere solo películas de fantasía y de acción es mayor que quienes escogen películas de acción y dramas.
5) la cantidad de personas que prefiere solo uno delos tres tipos de películas es menor que quienes escogieron los tres tipos.
Explicación:
En esta encuesta hay seis tipos de respuesta, sobre los gustos de películas. Hay tres tipos: acción, drama y fantasía.
Hay grupos que prefieren películas de acción o de dramas solamente. (200 y 220 personas)
Hay un grupo que prefiere drama y acción (100 personas)
Hay grupos que prefieren películas de fantasía con los dos tipos anteriores. (120 y 150 personas)
Hay un grupo que prefiere los tres tipos (40 personas)
La cantidad de personas que prefieren solo películas de fantasía y de acción (120 personas) es mayor que quienes escogen películas de acción y dramas.
6. ¿Cuál es la menor cantidad de colores con los que se puede pintar el siguiente dibujo si no pueden quedar pintadas del mismo color dos regiones que comparten un lado?
7. Considere el triángulo equilátero que se presenta en la figura adjunta ¿Cuántas veces cabe el triángulo sombreado en el triángulo mayor?
Explicación:
Un triángulo equilátero tiene lados y ángulos iguales.
Nos dicen que:
La altura del triángulo mayor es 2h y la del menor h.
La altura es igual al (lado por raíz de 3) todo entre 2.
De esta forma podemos saber la medida del lado de ambos triángulos.
Luego se calcula el área de cada triángulo:
A= (base*altura)/2
Nota: La base es el lado
8. ¿Cuál es la menor cantidad de rectas que se necesita trazar para dividir la siguiente figura en seis partes, aunque estas no necesariamente con la misma área?
Explicación:
Se deben trazar la mínima cantidad de rectas para que la figura quede dividida en seis partes.
Se puede trazar una recta vertical desde el vértice inferior central hasta el vértice medio central, dividiendo la figura en dos partes iguales.
Se puede trazar otra recta desde el vértice medio izquierdo, pasando por el vértice medio central hasta el vértice medio derecho, dividiendo la figura en cuatro partes, diferentes.
Se puede trazar una tercera recta horizontal más abajo de la segunda, desde el lado inferior izquierdo, pasando por el centro de la figura hasta el otro lado inferior derecho.
La opción correcta es la 2
9. Considere lo siguiente:
Se puede representar el número 1^2+ 2^2 con
Se puede representar el número 2^2+3^2 con
Se puede representar el número 3^2+4^2 con
De acuerdo con el patrón anterior el número 5^2+6^2 se puede representar así
1)
2)
3)
4)
5)
Explicación:
Los puntos negros representan el primer término
de la suma (la primer potencia). Y los puntos en blanco representan los puntos.
En la primera imagen 1^2+2^2
Hay un punto negro y cuatro blancos
En la segunda imagen 2^2+3^2
Hay cuatro puntos negros y nueve blancos
En la tercera imagen 3^2+4^2
Hay nueve puntos negros y 16 blancos
El patrón 5^2+6^2 debe tener
25 puntos negros y 36 blancos
La opción correcta es la 2
10. El lado de un cuadrado es el doble del lado de un hexágono. Entonces podemos afirmar con seguridad que:
1) el cuadrado tiene el doble del área del hexágono
2) el hexágono tiene el doble de área del cuadrado
3) el área de ambos es igual
4) el hexágono tiene mayor área que el cuadrado
5) el cuadrado tiene mayor área que el hexágono
Explicación:
Con la información del enunciado se puede nombrar
Al lado del cuadrado 2x Al lado del hexágono x
El cuadrado tiene como área (2x)^2
El área de un hexágono es
(6x^2*raíz de 3)/(4) esto porque un hexágono está formado por 6 triángulos equiláteros, por eso se multiplica 6 el área de un triángulo equilatero.
Área del cuadrado es 4x^2 Área del hexágono:
(3x^2*raíz de 3)/(2)
Para saber cuál es mayor, cambiamos x por un valor cualquiera como 2
Área del cuadrado (cambian Área del hexágono
do x por 2) (cambiando x por 2)
4*(2)^2=16 (3*(2)^2*raíz de 3)/(2)=10,39
16 es mayor que 10,39
Por lo tanto la opción correcta es la 5
11. En la figurase representa un rombo cuyas diagonales miden 18 cm y 24 cm. A, B, C y D son los puntos medios de los lados del rombo. Determine el área de la región sombreada.
12. Se dispone de 2500 metros de alambre para cercar dos terrenos con 4 hilos,uno de forma triangular y el otro de forma rectangular. Entonces se puede asegurar con certeza que:
1) la longitud de la cerca en total no sobrepasa los 500 metros
2) el área del terreno rectangular es exactamente 1000 metros cuadrados
3) la suma de los perímetros de los dos terrenos no debe exceder los 625 metros
4) el área del terreno triangular es igual al área del terreno rectangular
5) uno de los lados del terreno triangular mide 125 metros
13. Para empacar cierto tipo de bolas se utilizan cilindros de 3 cm de radio y 20 cm de altura. Entonces se puede afirmar con certeza que en cada empaque caben exactamente:
Para saber cuánto cabe en un espacio, debemos averiguar el volumen.
En el enunciado hay dos figuras: El envase (clindro)
Las bolas (esferas)
Mediante cálculos podemos averiguar cuántas bolas caben en el cilindro.
Tenemos que los datos del cilindro son:
Altura= 20 cm Radio= 3cm
El volumen de un cilindro es pi*radio^2*altura
O sea, pi*(3)^2*20
El volumen del cilindro es 180*pi
Entonces la opción que no sobrepase este volumen podrá ser correcta
El volumen de una esfera es 4/3*pi*r^3
4 bolas de 6 cm de radio: Para saber el volumen multiplicamos 4*Volumen de la esfera
4*(4/3*pi*r^3)= 1152*pi
3 bolas que no excedan los 6 cm de radio: Para averiguar el volumen multiplicamos 3*Volumen de la esfera
3*(4/·3*pi*r^3)= 864*pi
4 bolas de 3 cm de radio:
4*(4/3*pi*r^3)= 144*pi
3 bolas que no excedan los 3 cm de radio:
3*(4/3*pi*r^3)= 108*pi
5 bolas que no excedan los 4 cm de diámetro:
En esta opción cambia la información, nos dan el diámetro
El diámetro es el doble del radio, o sea, 2r
Por lo que si el diámetro es 4 cm, el radio es 2 cm
5*(4/3*pi*r^3)= 160/3*pi que es aproximadamente 167,55 cm^3
Tenemos que las últimas 3 opciones nos dan
144*pi , 108*pi y 167,55
1) 4 bolas de 6 cm de radio
2) 3 bolas que no excedan los 6 cm de radio
3) 4 bolas de 3 cm de radio
4) 3 bolas que no excedan los 3 cm de radio
5) 5 bolas que no excedan los 4 cm de diámetro
14. En la figura adjunta ABCD es un cuadrado de área de 1 cm^2. P y Q son puntos exteriores al cuadrado tales que los triángulos ABP y BCQ son equiláteros, entonces el área del triángulo PBQ corresponde a :
Explicación:
Analizando los datos se tiene que:
El cuadrado ABCD tiene 1 cm^2 de área, o sea cada lado mide 1 cm.
Los triángulos ABP y BCQ son equiláteros.
Esta información es útil porque los lados AB del triángulo inferior izquierdo y BC del triángulo superior son lados también del cuadrado. Entonces cada lado de ambos triángulos mide 1 cm
El lado PB mide entonces 1 cm y BQ también.
La altura de un triángulo equilátero es (lado*raíz de 3)/(2)
La altura del triángulo equilátero PBA mide raíz de 3 entre 2.
Podemos averiguar cuanto mide el lado PQ, utilizando Pitágoras:
a^2+b^2=c^2
PQ sería la hipotenusa ( c )
El primer cateto es la mitad del lado del triángulo equilatero inferior y el segundo cateto es la altura del triángulo inferior ( raíz de 3/2 + la medida del lado del triángulo superior ( 1 cm ).
(0,5)^2 + (raíz de 3 + 1 )^2= c^2
c= 1,93 cm ( hipotenusa )
El área de un triángulo es (base*altura)/2
A continuación le restamos al área del triángulo mayor PBQ (verde+celeste) el área del triángulo PBR (verde).
Para calcular áreas de triángulos necesitamos saber la medida de la altura de cada triángulo y la medida de las bases.
Triángulo PBQ (celeste+verde) Triángulo PBR (verde)
La base es PQ, o sea 1,93 cm La base es PR, o sea 0,5 cm
La altura es 1 + raíz de 3/2 La altura es raíz de 3/2
h=
Área= (0,5* 1 + raíz de 3/2)/2 Área= (0,5*raíz de 3/2)/2
Área= 0,46 Área=0,21
El área que buscamos es solo la celeste:
Triángulo PBQ - Triángulo PBR = 0,46 - 0,21= 0,25
0,25= 1/4 cm^2
La opción correcta es la 5
15. En la figura adjunta ¿cuál es el valor de y?
16. Considere las siguientes figuras regulares, donde todas tienen el mismo perímetro
1) El cuadrado tiene mayor área que el triángulo
2) El triángulo tiene igual área que el hexágono
3) El triángulo tiene mayor área que el cuadrado
4) El hexágono tiene menor área que el triángulo
5) El hexágono tiene menor área que el cuadrado
Explicación:
En la información nos dicen que el perímetro de todas las figuras es igual.
Para saber cuál es la relación entre las áreas podemos asignar un valor cualquiera al perímetro que comparten las figuras.
Por ejemplo 8 cm = Perímetro de cualquiera de las figuras
Área del triángulo Área del hexágono Área del cuadrado (base*altura)/2 (6l^2*raíz de 3)/4) lado^2
la altura es
(lado*raíz de 3)/2
El lado del triángulo es 8/3 cm
El lado del hexágono es 8/6 cm
El lado del cuadrado es 2 cm
A= 3, 07 cm^2 A= 4,61 cm^2 A= 4 cm^2
La opción correcta es la 1
17. Observe la siguiente figura
Al girar la figura anterior una cierta cantidad de veces en el plano, esta puede quedar de la siguiente manera:
1)
2)
3)
4)
5)
Explicación: La figura está formada por 5 partes, entre las cuales hay cuadrados, rectángulos y una región irregular (esquina superior izquierda), la cual nos va a ayudar a identificar más fácilmente la opción correcta.
La región irregular está junto a un rectángulo y un cuadrado. Y además su lado está alineado con la recta horizontal que pasa por el cuadrado y el rectángulo en la parte superior.
La opción correcta es la 4
18. La medida del ancho de un rectángulo es a y la del largo es b. Si se requiere duplicar su área sin variar la medida del largo entonces su ancho deberá ser:
1) a^2
2) 2a
3) a+2
4) a/2
5) a+a/2
Explicación: El área de un rectángulo es ancho*largo.
En este caso el enunciado dice que el ancho es a y el largo es b.
Entonces a*b=Área
Luego nos piden encontrar el valor de a para que el área se duplique.
Para que el área sea doble y el largo se conserve igual se necesita:
a/2*b= Área
a*b= 2*Área
La opción correcta es la 4
19. Una persona quiere enzacatar su jardín, el cual tiene la forma y las medidas que se indican en la figura adjunta. Si le cobran ₡700 por enzacatar 1 m^2, entonces en total gastará:
Una opción que presenta un ejemplo de número pentagonal corresponde a:
1) 25
2) 10
3) 22
4) 36
5) 15
Explicación: Así como hay números pentagonales, existen números triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales.
Los números triangulares se pueden representar por triángulos con igual número de puntos sobre cada lado del tiángulo. Ver figura 1
Los números cuadrados se pueden representar por cuadrados con igual número de puntos sobre cada lado del cuadrado. Ver figura 2
Hay dos maneras de realizar el ejercicio:
Construir los pentágonos e ir anotando los números obtenidos. Ver figura 3
Construir los triangulares y los cuadrados y descartar opciones. Ver figura 1 y 2
24. De una clase de p estudiantes q son mujeres. Entonces el porcentaje de hombres es:
1) ((p-q)/p)*100
2) ((p-q)/q)*100
3) (q/(p-q))*100
4) 100-p/q
5) 100-q/p
Explicación: p es el número total de estudiantes (ambos sexos)
q es el número de mujeres
Si a p que es el total le restamos q que son las mujeres obtenemos al total de hombres.
Entonces p-q es el total de hombres.
Realizamos una relación:
p = 100 % ( p es igual al 100 % de los estudiantes )
p-q = x % ( entonces p - q es igual a x% de los estudiantes )
Para saber el porcentaje de hombres (x%) realizamos la regla de tres.
((p-q)*100)/(p)
La opción correcta es la 1
25. Jorge tiene 7 libros menos que María, Ana tiene el triple de libros que Jorge. Si María tiene 2n libros, el número de libros que tiene Ana es:
1) 5n-7
2) 6n-7
3) 2n-21
4) 3(2n-7)
5) (7-3n)+2n
Explicación:
María tiene 2n libros.
Jorge tiene siete libros menos que María, o sea 2n-7
Y Ana tiene el triple de Jorge, o sea 3*(2n-7)
La opción correcta es la 4
26. Javier compró una cantidad a de sombreros por la que pagó un total de x colones, y decide revenderlos a un precio de p colones cada uno. Si Javier recupera la inversión inicial (x colones) cuando aún le quedan dos sombreros ¿cuál de las siguientes expresiones es verdadera?
1) x= p(a-2)
2) x=p(a+2)
3) x= p*a
4) x=p/(a-2)
5) x=(a-2)/p
27. En el conjunto de los números enteros, se define la operación multiplicación de la manera siguiente: x*y=2xy-(x+y-1). Con base en lo anterior, 5*7 es igual a:
1) 129
2) 69
3) 67
4) 59
5) 57
Explicación: Nos dan una definición o fórmula para realizar una multiplicación de dos números ( Uno es x y el otro y)
Si decimos que 5 sea x
Y que 7 sea y
Debemos sustituir en la fórmula x por 5, luego y por 7:
x*y=2xy-(x+y-1) quedaría 5*7=2*5*7-(5+7-1)
quedaría 5*7= 70-(11)
=59
La opción correcta es la 4
28. Si la suma de cuatro números impares consecutivos es S, entonces en término de S, el más grande de esos números es:
1) (S-12)/4
2) (S-6)/4
3) (S+6)/4
4) (S+12)/4
5) (S+16)/4
Explicación:
Para realizar este ejercicio debemos saber que los números pares son los múltiplos de 2 y los impares los que no son múltiplos de 2.
Los números pares se pueden expresar como 2n
Los números impares se pueden expresar 2n + 1
Entonces cuatro números impares consecutivos son
2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7
La suma de esos cuatro números S.
Nos piden averiguar el valor del número impar mayor en términos de S. Se tiene que:
2n+1 + 2n+3 + 2n+5 + 2n+7 = S
Luego despejamos n
Averiguamos el valor de n en términos de S, para luego sustituirlo en 2n+7. Veamos:
8n= (S-16)
n= (S-16)/(8) este es el valor de n en términos de S
Entonces 2n+7 = 2*(S-16)/(8) + 7
= (S-16)/4 + 7
= (S-16+28)/4
= (S+12)/4
La opción correcta es la 4
29. Considere la fracción (a+b)/c .Si el valor de a,b y c se duplica entonces, el valor de la fracción:
1) Aumenta en 4 unidades
2) Aumenta en 2 unidades
3) Se cuadruplica
4) Se duplica
5) No varía
30. Una deuda de a colones se cancela con un pago inicial de b colones y el saldo de 4 abonos iguales. Entonces el valor de cada abono:
1) a-(b/4)
2) (a/4)-b
3) (a-b)/4
4) (a+b)/4
5) a/4
31. ¿Cuántos números distintos de cuatro cifras y divisibles por 4 pueden formarse a partir de las cifras 1,2,3,4,5, si cada cifra puede emplearse en la escritura del número varias veces?
1) 5
2) 15
3) 120
4) 125
5) 625
32. Un grupo de cuatro estudiantes dan centro de Matemática, Química, Física y Biología. Si cada estudiante imparte una materia y los 4 pueden impartir cualquiera de las asignaturas ¿cuál es el número total de maneras distintas en que se puede hacer la distribución de materias entre los estudiantes?
1) 6
2) 10
3) 16
4) 24
5) 64
33. Un juego consiste en lanzar un par de dados y sumar el total indicado por las caras. Si se gana cuando dicha suma es mayor o igual que 8 ¿cuál es el número total de maneras en que se podría obtener una victoria?
1) 5
2) 9
3) 12
4) 15
5) 21
34. Suponga que se lanzan tres bolas iguales hacia 5 cajas numeradas del 1 al 5. Con certeza se puede garantizar que:
1) El número total, de maneras diferentes, en que las bolas caigan en una misma caja es 5
2) El número total, de maneras diferentes, en que dos bolas caigan en una misma caja es 10
3) El número total, de maneras diferentes, en que cada bola caiga en una caja diferente es 5
4) El número total, de maneras diferentes, en que cada bola caiga en una caja diferente es 20
5) El número total, de maneras diferentes, en que dos bolas caigan en una misma caja es 15
35. Suponga que se lanza una moneda cinco veces y luego se escribe el número total de escudos obtenidos. Un conjunto que presente todos los resultados posibles sería:
1) (1,1,1,1,1)
2) (0,1,0,1,0)
3) (0,1,2,3,4)
4) (1,2,3,4,5)
5) (0,1,2,3,4,5)
Explicación:
Cuando se lanza la moneda puede salir tanto escudo como corona.
Las opciones incluyen un conjunto de posibles resultados.
Esto quiere decir cuántas veces nos salió escudo.
Escudo puede no salir en alguna de las cinco veces.
Salir una, dos, tres, cuatro o todas las cinco veces.
La opción correcta es la 5
36. Para adornar dos jarrones transparentes se van a colocar dos piedras en el fondo de cada uno. Se tienen tres piedras rojas, una piedra azul y una piedra verde. La única diferencia entre las piedras es el color ¿De cuántas maneras diferentes se pueden distribuir las cinco piedras entre los dos jarrones si en uno se pueden colocar tres piedras y en el otro dos?
1) 3
2) 4
3) 7
4) 9
5) 11
Explicación:
Explicación: Se tienen que adornar dos jarrones.
A uno le caben dos piedras y a otro tres piedras.
Tenemos que las piedras son iguales excepto por el color
3 piedras son rojas, 1 piedra es azul y 1 piedra es verde.
En el jarrón de 3 piedras, se pueden colocar:
1 piedra de cada color
Y al mismo tiempo en el jarrón de 2 piedras:
2 piedras rojas
Segunda posibilidad:
2 piedras de color rojo y una azul (jarrón de 3 piedras)
2 piedras de color rojo y una azul (jarrón de 3 piedras)
1 piedra de color rojo y una verde (jarrón de 2 piedras)
Tercera posibilidad:
2 piedras de color rojo y una verde (jarrón de 3 piedras)
1 piedra de color rojo y una azul (jarrón de 2 piedras)
4ta posibilidad:
3 piedras rojas (jarrón de 3 piedras)
1 piedra verde y 1 piedra azul (jarrón de 2 piedras)
En total tenemos 4 maneras diferentes para distribuir las piedras.
La opción correcta es la 2
37. La diana de un juego de dardos está compuesta por 4 círculos concéntricos, separados uno de otro por 5 cm que forman, además del círculo central, hay 3 coronas circulares, tal y como se muestra en la ilustración:
1) el círculo 1, es 62, 5%
2) la corona 2, es 25%
3) la corona 3, es 56%
4) el círculo 1, es 50%
5) la corona 4, es 75%
38. Un estudio veterinario indica que de cada 10 gatos 2 tienen el pelo negro, 7 de cada 20 tienen ojos de color verde, 10 de cada 15 tienen el pelo corto.
Con base en estos datos se hacen las siguientes afirmaciones:
I. 7 de cada 100 gatos tienen el pelo negro y ojo verdes
II. 14 de cada 60 gatos tienen ojos verdes y pelo corto
III. 4 de cada 15 gatos tienen pelo negro y corto
De las afirmaciones anteriores son verdaderas solamente:
1) La I
2) La II
3) La III
4) La I y la II
5) La II y la III
39. ¿De cuánta maneras se pueden obtener 52 puntos en fichas de 2 y 5 puntos, si debe haber al menos una ficha de cada denominador?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 5
40. Utilizando solo los dígitos: 2,4,5,y 7 ¿cuántos números distintos de tres dígitos se pueden formar si ningún dígito se repite en cada número?
1) 24
2) 18
3) 16
4) 8
5) 4
Explicación:
Se debe formar números de tres dígitos, sin repetir números en los dígitos:
Por ejemplo no se puede 227 (se repite el 2)
Los números son 2,4,5 y 7
Primero formamos todos los números de tres dígitos que puedan empezar con 2 de menor a mayor. Esto escogiendo como segundo dígito al número más cercano a 2 en este caso es 4.
245, 247, 254, 257, 274, 275 (seis números)
Ahora que empiecen con 4
425, 427, 454, 457, 472, 475 (seis números)
Ahora que empiecen con 5
524, 527, 542, 547, 572, 574 (seis números)
Ahora que empiecen con 7
724, 725, 742, 745, 752, 754 (seis números)
La opción correcta es la 1
41. Si en las siguientes expresiones x es mayor que 5 ¿cuál de las siguientes expresiones puede asegurarse con certeza que es negativa?
1) x-4
2) 4x-1
3) x/4 -1
4) 10-4x
5) x/4
42. Considere las siguientes igualdades
I. x+y*z=x+z
II. r(s+t)
III. a(b+c)=a*c
¿En cuál (es) de ellas es necesario que a una de las variables se le asigne el valor de 1 para que la expresión sea verdadera?
1) Sólo en la I
2) Sólo en la II
3) Sólo en la III
4) Sólo en la I y II
5) Sólo en la II y III
43. Mientras la aguja que marca los minutos en un reloj (aguja larga) da una vuelta, la que marca las horas (aguja corta) da:
1) 1/2 de vuelta
2) 1/1 de vuelta
3) 1/5 de vuelta
4) 1/24 de vuelta
5) 1/60 de vuelta
44. El hielo disminuye su volumen en un 9% cuando se derrite. Si se derrite 1000 cm^3 de hielo ¿cuál es el volumen del agua que se forma?
1) 1090 cm^3
2) 999,1 cm^3
3) 991 cm^3
4) 990 cm^3
5) 910 cm^3
45. Sea a un número mayor que 1 ¿cuál de las siguientes fracciones es la mayor?
1) 1/a
2) 1/a^2
3) 1/(a+1)
4) 1/2a
5) 1/(2a+1)
46. Si a*b=1 entonces con certeza
1) a es cero
2) b no es cero
3) a es menor que 1
4) a es menor que b
5) a es igual a b
47. Una empresa debe empacar frijoles en sacos. Dispone de tres cajas con capacidad para 90 kilos, 180 kilos y 150 kilos, respectivamente. Si todos los sacos de frijoles deben tener el mismo peso y este debe ser el mayor posible, ¿cuánto debe pesar cada saco de frijoles?
1) 5 kilos
2) 6 kilos
3) 10 kilos
4) 15 kilos
5) 30 kilos
48. Si k es un número natural, entonces dos números naturales impares consecutivos están representados por:
1) 2k-1 y 2k
2) 2k+1 y 2k
3) 2k-1 y 2k+3
4) 2k+1 y 2k+3
5) 2k+1 y 2k+2
49. Se dispone de ₡ 12 000 para comprar 3 libretas, 5 cuadernos, 4 lápices y 2 marcadores. Los precios son ₡ 675, ₡ 2150, ₡ 250 y ₡ 375 respectivamente. Entonces se puede asegurar que:
1) el dinero alcanza para todo y no sobra nada.
2) el dinero alcanza para todo y sobra algo.
3) el dinero alcanza para cuatro cuadernos y todo lo demás, y no sobra nada.
4) se pueden comprar a lo sumo tres cuadernos y todo lo demás.
5) se pueden comprar a lo sumo tres cuadernos, dos libretas y todo lo demás.
50. Debido al aumento del precio de la tela un sastre se vio en la obligación de aumentar 60% cada una de las prendas confeccionadas. Por un error involuntario su ayudante redujo en un 60% el precio de un saco ¿Qué porcentaje debe aumentarse al precio incorrecto para lograr que el saco tenga el precio deseado?
1) 60%
2) 120%
3) 300%
4) 400%
5) Depende del precio del saco
